حل تمرین صفحه 90 ریاضی دوازدهم 8تا15

حل تمرین 8 صفحه 91 ریاضی دوازدهم تابع $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$ در ریشه‌های عبارت داخل قدر مطلق مشتق‌پذیر نیست. ریشه‌ها از $x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x - 1)(x - 3) = 0$ به دست می‌آیند: $\mathbf{x=1}$ و $\mathbf{x=3}$. ### الف) بررسی مشتق‌پذیری در $x = 2$ (نقطه غیرمرزی) در $x=2$، عبارت داخل قدر مطلق منفی است: $2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. پس در همسایگی $x=2$: $f(x) = -(x^2 - 4x + 3) = -x^2 + 4x - 3$. $$\mathbf{\text{مشتق:}} f'(x) = -2x + 4$$ $$f'(2) = -2(2) + 4 = 0$$ $$\mathbf{\text{نتیجه:}} \text{ تابع در } x=2 \text{ مشتق‌پذیر است و } f'(2) = 0 \text{ است.}$$ (این نقطه کمینه محلی تابع است.) --- ### ب) بررسی مشتق‌پذیری در $x = 3$ (نقطه مرزی/ریشه) در $x=3$، عبارت داخل قدر مطلق صفر است، پس مشتق چپ و راست باید بررسی شود. 1. **مشتق چپ ($x \to 3^-$):** در همسایگی چپ ۳ (مانند $2.9$)، $x^2 - 4x + 3$ **منفی** است. $$f'_-(3) = \frac{d}{dx}(-x^2 + 4x - 3)|_{x=3} = -2x + 4|_{x=3} = -2(3) + 4 = -2$$ 2. **مشتق راست ($x \to 3^+$):** در همسایگی راست ۳ (مانند $3.1$)، $x^2 - 4x + 3$ **مثبت** است. $$f'_+(3) = \frac{d}{dx}(x^2 - 4x + 3)|_{x=3} = 2x - 4|_{x=3} = 2(3) - 4 = 2$$ $$\mathbf{\text{نتیجه:}} \text{ چون } f'_-(3) = -2 \ne f'_+(3) = 2 \text{، تابع در } x=3 \text{ دارای گوشه است و } \mathbf{\text{مشتق‌پذیر نیست.}}$$

حل تمرین 9 صفحه 91 ریاضی دوازدهم ### 1. محاسبه مشتق $f'(x)$ ابتدا تابع را به صورت توانی می‌نویسیم: $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$. از قاعده مشتق توان استفاده می‌کنیم: $$f'(x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} = \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}$$ $$f'(x) = \mathbf{\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}}$$ ### 2. تعیین نقطه‌ای با مماس قائم مماس قائم زمانی رخ می‌دهد که مشتق تابع به $\pm\infty$ میل کند، یعنی مخرج مشتق صفر شود، و تابع در آن نقطه پیوسته باشد. 1. **بررسی مخرج مشتق:** مخرج $3\sqrt[3]{x}$ زمانی صفر می‌شود که $x = 0$. 2. **بررسی پیوستگی در $x=0$:** $f(0) = \sqrt[3]{0^2} = 0$. تابع در $x=0$ پیوسته است. 3. **بررسی حد مشتق:** $$\lim_{x \to 0} f'(x) = \lim_{x \to 0} \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$$ $$\lim_{x \to 0^+} \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} = +\infty \quad \text{و} \quad \lim_{x \to 0^-} \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} = -\infty$$ $$\mathbf{\text{نتیجه:}} \text{ تابع در } \mathbf{x = 0} \text{ دارای مماس قائم است. (نقطه } (0, 0) \text{)}$$

حل تمرین 10 صفحه 91 ریاضی دوازدهم برای نظیر کردن تابع به نمودار مشتق، از ارتباط بین صعودی/نزولی بودن تابع و علامت مشتق آن استفاده می‌کنیم: * **تابع صعودی:** مشتق مثبت ($f'(x) > 0$). * **تابع نزولی:** مشتق منفی ($f'(x) < 0$). * **تابع ثابت (اکسترمم):** مشتق صفر ($f'(x) = 0$). | تابع | ویژگی‌های تابع | نمودار مشتق متناظر | |:---:|:---:|:---:| | $\mathbf{f}$ (سهمی رو به پایین) | صعودی، مشتق $0$، نزولی $\implies$ مشتق مثبت، $0$، منفی (خطی با شیب منفی) | **مشتق (۳)** (خط با شیب منفی) | | $\mathbf{g}$ (خط افقی/ثابت) | ثابت $\implies$ مشتق همواره صفر | **مشتق (۲)** (خط $y = 0$) | | $\mathbf{h}$ (سهمی رو به بالا) | نزولی، مشتق $0$، صعودی $\implies$ مشتق منفی، $0$، مثبت (خطی با شیب مثبت) | **مشتق (۱)** (خط با شیب مثبت) | | $\mathbf{t}$ (خط نزولی) | نزولی $\implies$ مشتق همواره یک مقدار ثابت منفی | **مشتق (۴)** (خط $y = k, k < 0$) | ### نتیجه نظیرسازی: * $\mathbf{f} \longleftrightarrow \text{مشتق (۳)}$ * $\mathbf{g} \longleftrightarrow \text{مشتق (۲)}$ * $\mathbf{h} \longleftrightarrow \text{مشتق (۱)}$ * $\mathbf{t} \longleftrightarrow \text{مشتق (۴)}$

حل تمرین 11 صفحه 92 ریاضی دوازدهم ### 1. استخراج داده‌ها (مقادیر و شیب‌ها) توابع $f$ و $g$ هر دو خطوط راست هستند. **تابع $f$ (خط قرمز):** از نقاط $(0, 3)$ و $(3, 0)$ می‌گذرد. * **معادله:** $m_f = \frac{0 - 3}{3 - 0} = -1$. $f(x) = -x + 3$. * **مشتق:** $f'(x) = -1$ (در تمام نقاط). * **مقادیر:** $f(1) = 2$, $f(2) = 1$, $f(3) = 0$. **تابع $g$ (خط آبی):** از نقاط $(0, 0)$ و $(2, 4)$ می‌گذرد. * **معادله:** $m_g = \frac{4 - 0}{2 - 0} = 2$. $g(x) = 2x$. * **مشتق:** $g'(x) = 2$ (در تمام نقاط). * **مقادیر:** $g(1) = 2$, $g(2) = 4$, $g(3) = 6$. --- ### الف) مشتق تابع ضرب $h(x) = f(x)g(x)$ $$h'(x) = f'(x)g(x) + g'(x)f(x) = (-1)(2x) + (2)(-x + 3) = -2x - 2x + 6 = -4x + 6$$ 1. **$h'(1)$:** $h'(1) = -4(1) + 6 = \mathbf{2}$ 2. **$h'(2)$:** $h'(2) = -4(2) + 6 = -8 + 6 = \mathbf{-2}$ 3. **$h'(3)$:** $h'(3) = -4(3) + 6 = -12 + 6 = \mathbf{-6}$ --- ### ب) مشتق تابع تقسیم $k(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ $$k'(x) = \frac{f'(x)g(x) - g'(x)f(x)}{g^2(x)} = \frac{(-1)(2x) - (2)(-x + 3)}{(2x)^2}$$ $$k'(x) = \frac{-2x - (-2x + 6)}{4x^2} = \frac{-2x + 2x - 6}{4x^2} = -\frac{6}{4x^2} = -\frac{3}{2x^2}$$ 1. **$k'(1)$:** $k'(1) = -\frac{3}{2(1)^2} = \mathbf{-\frac{3}{2}}$ 2. **$k'(2)$:** $k'(2) = -\frac{3}{2(2)^2} = -\frac{3}{8}$ 3. **$k'(3)$:** $k'(3) = -\frac{3}{2(3)^2} = -\frac{3}{18} = \mathbf{-\frac{1}{6}}$

حل تمرین 12 صفحه 92 ریاضی دوازدهم از قوانین مشتق توابع جمع و ضرب در عدد ثابت استفاده می‌کنیم: * $(f + g)'(a) = f'(a) + g'(a)$ * $(cf)'(a) = c f'(a)$ * $(c f + d g)'(a) = c f'(a) + d g'(a)$ داده‌ها: $f'(1) = 3$ و $g'(1) = 5$. ### 1. محاسبه $(f + g)'(1)$ $$(f + g)'(1) = f'(1) + g'(1) = 3 + 5 = \mathbf{8}$$ --- ### 2. محاسبه $(3f + 2g)'(1)$ $$(3f + 2g)'(1) = 3f'(1) + 2g'(1)$$ $$(3f + 2g)'(1) = 3(3) + 2(5) = 9 + 10 = \mathbf{19}$$

حل تمرین 13 صفحه 92 ریاضی دوازدهم برای نشان دادن عدم وجود $f'(0)$، باید مشتق چپ و راست را محاسبه کرده و نابرابری آن‌ها را نشان دهیم. ### 1. بررسی پیوستگی در $x = 0$ قبل از محاسبه مشتق، پیوستگی را بررسی می‌کنیم: * $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 = 0$ * $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$ * $f(0) = 0^2 = 0$ $$\mathbf{\text{نتیجه:}} \text{ تابع پیوسته است.}$$ --- ### 2. محاسبه مشتق چپ $f'_{-}(0)$ از ضابطه $f(x) = x^2$ برای $x < 0$ استفاده می‌شود: $$f'_{-}(x) = \frac{d}{dx} (x^2) = 2x$$ $$f'_{-}(0) = 2(0) = \mathbf{0}$$ $$\mathbf{\text{نتیجه: } f'_{-}(0) \text{ موجود و برابر } 0 \text{ است.}}$$ --- ### 3. محاسبه مشتق راست $f'_{+}(0)$ از ضابطه $f(x) = x$ برای $x > 0$ استفاده می‌شود: $$f'_{+}(x) = \frac{d}{dx} (x) = 1$$ $$f'_{+}(0) = \mathbf{1}$$ $$\mathbf{\text{نتیجه: } f'_{+}(0) \text{ موجود و برابر } 1 \text{ است.}}$$ --- ### 4. نتیجه‌گیری در مورد $f'(0)$ $$\mathbf{\text{نتیجه:}} \text{ چون } f'_{-}(0) = 0 \ne f'_{+}(0) = 1 \text{ است، } \mathbf{f'(0) \text{ موجود نیست.}}$$ **تفسیر هندسی:** نمودار در $x=0$ دارای یک **گوشه** است (انتقال از سهمی $y=x^2$ به خط $y=x$)، که نشان‌دهنده عدم وجود مشتق است.

حل تمرین 14 صفحه 92 ریاضی دوازدهم ### الف) $f(x) = (3x^2 - 4)(2x - 5)^2$ از قاعده ضرب $(uv)' = u'v + v'u$ استفاده می‌کنیم، که در آن $u = 3x^2 - 4$ و $v = (2x - 5)^2$ است. * $u' = 6x$ * $v' = 2(2x - 5)^1 \cdot (2x - 5)' = 2(2x - 5)(2) = 4(2x - 5)$ $$f'(x) = (6x)(2x - 5)^2 + 4(2x - 5)(3x^2 - 4)$$ $$\mathbf{f'(x) = 2(2x - 5) \left[ 3x(2x - 5) + 2(3x^2 - 4) \right]}$$ $$f'(x) = 2(2x - 5) [6x^2 - 15x + 6x^2 - 8]$$ $$\mathbf{f'(x) = 2(2x - 5) (12x^2 - 15x - 8)}$$ --- ### ب) $f(x) = \frac{x^3 - 3x + 1}{-3x + 2}$ از قاعده خارج قسمت $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - v'u}{v^2}$ استفاده می‌کنیم، که در آن $u = x^3 - 3x + 1$ و $v = -3x + 2$ است. * $u' = 3x^2 - 3$ * $v' = -3$ $$f'(x) = \frac{(3x^2 - 3)(-3x + 2) - (-3)(x^3 - 3x + 1)}{(-3x + 2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{(-9x^3 + 6x^2 + 9x - 6) + (3x^3 - 9x + 3)}{(-3x + 2)^2}$$ $$\mathbf{f'(x) = \frac{-6x^3 + 6x^2 - 3}{(-3x + 2)^2}}$$ --- ### پ) $f(x) = (\sqrt{3x} + 2)(x^3 + 1)$ از قاعده ضرب $(uv)' = u'v + v'u$ استفاده می‌کنیم، که در آن $u = \sqrt{3x} + 2 = (3x)^{\frac{1}{2}} + 2$ و $v = x^3 + 1$ است. * $u' = \frac{1}{2} (3x)^{-\frac{1}{2}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x}}$ * $v' = 3x^2$ $$f'(x) = u'v + v'u$$ $$\mathbf{f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x}} (x^3 + 1) + 3x^2 (\sqrt{3x} + 2)}$$ --- ### ت) $f(x) = \frac{9x - 2}{\sqrt{x}}$ ابتدا ضابطه را برای سهولت در مشتق‌گیری ساده می‌کنیم: $f(x) = \frac{9x}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} = 9x^{\frac{1}{2}} - 2x^{-\frac{1}{2}}$. $$f'(x) = 9 (\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}) - 2 (-\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}})$$ $$f'(x) = \frac{9}{2\sqrt{x}} + x^{-\frac{3}{2}} = \frac{9}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{x\sqrt{x}}$$ $$\text{با مخرج مشترک } 2x\sqrt{x} \text{ یا ساده سازی:}$$ $$f'(x) = \frac{9x}{2x\sqrt{x}} + \frac{2}{2x\sqrt{x}} = \frac{9x + 2}{2x\sqrt{x}}$$ $$\mathbf{\text{یا } f'(x) = \frac{9}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{x\sqrt{x}}}$$

حل تمرین 15 صفحه 92 ریاضی دوازدهم برای محاسبه $f''(-1)$، باید مشتق اول و سپس مشتق دوم تابع را محاسبه کنیم. 1. **مشتق اول ($f'(x)$):** $$f(x) = 5x^3 - 4x^2 - 3x$$ $$f'(x) = 15x^2 - 8x - 3$$ 2. **مشتق دوم ($f''(x)$):** $$f''(x) = \frac{d}{dx} (15x^2 - 8x - 3) = 30x - 8$$ 3. **محاسبه $f''(-1)$:** $$f''(-1) = 30(-1) - 8 = -30 - 8 = \mathbf{-38}$$ $$\mathbf{\text{مقدار مشتق دوم: } f''(-1) = -38}$$